ΜΗ-ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ


ΓΕΝΙΚΑ

ΕΞΑΜΗΝΟ ΦΟΙΤΗΣΗΣ: 2ο
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: Διεπιστημονικό, Μαθηματικά Επιστήμης Δεδομένων
ΠΙΣΤΩΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ: 6

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ

Γερ. Αθανασούλης

ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ

Θεωρία Πιθανοτήτων (προπτυχιακή), Μετροθεωρητική Θεωρία Πιθανοτήτων (επιθυμητή), Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ

Ενδιάμεση εξέταση (30%), τελική εξέταση (70%).
Θα υπάρχει και προαιρετική εργασία με παρουσίαση, η οποία –εφ’ όσον αναληφθεί και είναι επιτυχής- θα δίδει bonus 20% επί του βαθμού που προκύπτει από τις εξετάσεις.

ΣΤΟΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

α) Να αναδείξει την σημασία της στοχαστικής προτυποποίησης σε διάφορα φυσικά κα τεχνολογικά προβλήματα
β) Να αναπτύξει τις θεωρητικές βάσεις της μελέτη και του λογισμού των μη-Μαρκοβιανών στοχαστικών συναρτήσεων, οι οποίες είναι απαραίτητες σε όλες τις μακροσκοπικές εφαρμογές
γ) Να αναπτύξει μεθόδους επίλυσης (υπολογισμού της πιθανότητας απόκρισης) μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων υπό γενική στοχαστική διέγερση (uncertainty quantification in non-linear dynamical systems)

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

(1) Υπόβαθρο θεωρίας πιθανοτήτων. Θεωρία και πείραμα. Ορισμός του επιστημονικού πειράματος. Ντετερμινιστικά και στοχαστικά πειράματα. Ο χώρος πιθανότητας ως μαθηματικό πρότυπο του στοχαστικού πειράματος. Συνολοθεωρητικό υπόβαθρο και μετροθεωρητική κατασκευή της πιθανότητας (επέκταση από ημιάλγεβρες σε σ-άλγεβρες με την βοήθεια του Θεωρήματος Καραθεοδωρή και του Λήμματος του Hopf). Μη μετρήσιμα σύνολα. Μετρήσιμη κάλυψη (μη μετρήσιμων) συνόλων. Μεταφορά της πιθανότητας σε μη μετρήσιμο σύνολο εξωτερικού μέτρου 1.

(2) Μη-Μαρκοβιανές στοχαστικές συναρτήσεις. Ανεπάρκεια της Μαρκοβιανής προσέγγισης. Παραδείγματα από την φυσική και την τεχνολογία (τυρβώδεις ροές, σεισμική κίνηση, ανεμογενείς θαλάσσιοι κυματισμοί, φορτίσεις κατασκευών από άνεμο, σεισμό, κύμα, στατιστική βιοφυσική, στατιστική μηχανική συστημάτων εκτός ισορροπίας). Η ιεραρχία των κατανομών πιθανότητας διαφόρων τάξεων. Συναρτήσεις ροπών. Μέθοδοι κατασκευής μέτρων πιθανότητας σε χώρους συναρτήσεων. Το θεώρημα Kolmogorov και τα προβλήματά του. Η θεώρηση του Doob, διαχωρίσιμες στοχαστικές συναρτήσεις. Χαρακτηριστικό συναρτησιακό. Κατασκευή μέτρων πιθανότητας μέσω του χαρακτηριστικού συναρτησιακού. Θεωρήματα Sazonov και Minlos. Indistinguishable στοχαστικές συναρτήσεις, modifications και versions στοχαστικών συναρτήσεων. Στοχαστική σύγκλιση (L2, κατά πιθανότητα, με πιθανότητα 1). Στοιχεία στοχαστικού Λογισμού. Αναλυτικές ιδιότητες στοχαστικών συναρτήσεων (συνέχεια, ολοκληρωσιμότητα, διαφορισιμότητα). Ακρότατα και τομές διαφορισίμων στοχαστικών συναρτήσεων.

(3) Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις – Στοχαστική δυναμική. Παραδείγματα στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων από την τεχνολογία και την Φυσική (ταλαντώσεις κατασκευών υπό την επίδραση στοχαστικών διεγέρσεων από άνεμο, κύμα ή σεισμό. Διάδοση ηχητικών κυμάτων σε μεγάλες αποστάσεις στην θάλασσα, διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε μεγάλες αποστάσεις στην ατμόσφαιρα). Τυχαίες διεγέρσεις (additive excitation) ή/και τυχαίοι συντελεστές (multiplicative excitation) με συνεχή συνδιακύμανση γενικής μορφής (όχι λευκός θόρυβος). Μη Μαρκοβιανές αποκρίσεις. Η έννοια της λύσης μιας στοχαστικής διαφορικής εξισώσεως στην περίπτωση αυτή. Εξίσωση Liouville και στοχαστική εξίσωση Liouville (ενός χρόνου, δύο χρόνων, κοκ). Η ιεραρχία LMN των δυναμικών εξισώσεων για τις συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας διαφόρων τάξεων της απόκρισης. Το Θεώρημα Novikov-Furutsu και η χρήση του για την παραγωγή (κλειστών, προσεγγιστικών) δυναμικών εξισώσεων εξέλιξης της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας πρώτης τάξεως (γενικευμένες εξισώσεις Fokker-Planck-Kolmogorov). Εφαρμογές σε συγκεκριμένα δυναμικά συστήματα (ταλαντωτές).

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

• Σημειώσεις του διδάσκοντος (ανανεωνόμενες κάθε χρόνο)
• Doob, J.L., 1953 /1990, Stochastic Processes, John Wiley & Sons, Wiley Classics Library Edition Published 1990
• Gikhman, I.I.,-Skorokhod, A.V., 1996, Introduction to the Theory of Random Processes, Dover Publ.
• Kree, P., Soize, Ch., 1986, Mathematics of Random Phenomena. Random Vibrations of Mechanical Structures, Kluwer Academic Publishers
• Li, J., Chen, J., 2009, Stochastic dynamics of structures, John Wiley and Sons
• Loeve, M., 1977, 1978, Probability theory, Vol. I & Vol. II, Springer-Verlag, New York
• Lukacs, E., 1968, Stochastic Convergence, Raytheon Education Company
• Parthasarathy, K.R., 1967, Probability Measures on Metric Spaces, Academic Press
• Pugachev, V.S., Sinitsyn, I. N., 2001, Stochastic Systems. Theory and Applications, World Scientific
• Skorokhod, A.V., 2005, Basic Principles and Applications of Probability Theory, Springer
• Sobczyk, K., 1991, Stochastic Differential Equations. Kluwer Academic Publishers
• Soong, T.T., Grigoriu M, 1993, Random Vibration of Mechanical and Structural Systems, Prentice Hall, New Jersey
• Stark, H., Woods, J.W., 1986, Probability, random processes, and estimation theory for engineers, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey
• Σπηλιώτη, Ι. 2010, Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Σε Απειροδιάστατους Χώρους 2010 (pdf)