ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ, ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΧΑΜΗΛΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ


ΓΕΝΙΚΑ

ΕΞΑΜΗΝΟ ΦΟΙΤΗΣΗΣ: 2ο
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: Διεπιστημονικό
ΠΙΣΤΩΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ: 8

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ

Σοφ. Λαμπροπούλου

ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

Βασική άλγεβρα (Γραμμική Άλγεβρα & Αναλυτική Γεωμετρία, Θεωρία Ομάδων)

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ

Παράδοση ασκήσεων και εργασιών, γραπτή ή/και προφορική εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

ΣΤΟΧΟΣ

Να εισάγει τους μεταπτυχιακούς φοιτητές στην Θεωρία Κόμβων, που είναι ένας επίκαιρος κλάδος της Τοπολογίας Χαμηλών Διαστάσεων, και στις ποικίλλες εφαρμογές της. Οι κόμβοι και οι κρίκοι είναι εμφυτεύσεις του κύκλου στο χώρο και η μελέτη τους έχει ως κύριο στόχο την ταξινόμησή τους. Αυτό είναι ένα από τα ανοικτά προβλήματα των Μαθηματικών. Η Θεωρία Κόμβων έχει άμεση συνάφεια με τη Θεωρία Γραφημάτων, την Άλγεβρα, καθώς και με την τοπολογία των τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων, η ταξινόμηση των οποίων σχετίζεται με την περίφημη εικασία Poincaré. Από το 1984, με την ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones, η Θεωρία Κόμβων βρήκε θεαματικές εφαρμογές στη Στατιστική Μηχανική, στη Μοριακή Βιολογία, στη Χημεία, και αλλού.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Οι βασικές έννοιες της Θεωρίας Κόμβων, ισοτοπία και το Θεώρημα Reidemeister, κλασικές αναλλοίωτες κόμβων και κρίκων. Βασικές έννοιες της Αλγεβρικής Τοπολογίας, η θεμελιώδης ομάδα του κύκλου, η θεμελιώδης ομάδα ενός κόμβου. Οι επιφάνειες Seifert και το γένος ενός κόμβου. Η ταξινόμηση των ρητών κόμβων (Θεώρημα Schubert) και εφαρμογές στην αναδιάταξη του DNA. Εφαρμογές της Θεωρίας Κόμβων στα εμφυτευμένα γραφήματα (Θεώρημα Conway-Gordon) και η συνάφεια με την θεωρία των πολυμερών. Κόμβοι και επίπεδα γραφήματα και μία εφαρμογή στα ηλεκτρικά κυκλώματα. Το πολυώνυμο Kauffman bracket και η αλληλεπίδραση της θεωρίας με τη Στατιστική Μηχανική. Η αλγεβρική δομή της ομάδας των πλεξίδων, τα Θεωρήματα Alexander και Markov, το πολυώνυμο Jones, το πολυώνυμο HOMFLYPT και οι σχέσεις τους με τις άλγεβρες Temperley-Lieb και Hecke. Τέλος, η κατασκευή τρισδιάστατων χώρων από κόμβους, μέσω της «χειρουργικής», η αναλλοίωτη Witten τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων (κατά Lickorish) και εφαρμογές της χειρουργικής σε φυσικές διεργασίες.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1) C.C. Adams, “The Knot Book”, Freeman.
2) A. Hatcher, “Algebraic Topology”, Cambridge.
3) D. Rolfsen, “Knots and Links”, Publish or Perish.
4) W.B.R. Lickorish, “An Introduction to Knot Theory”, Springer.
5) L.H. Kauffman, “Knots and Physics”, World Scientific.
6) L.H. Kauffman, S. Lambropoulou, The classification of rational knots, L’ Enseignement Mathématique, 49, 2003.
7) D.W. Sumners, Untangling DNA, Mathematical Intelligencer, 12(3), 1990.
8) J.H. Conway, C.McA. Gordon, Knots and links in spatial graphs, J. Graph Theory, 1983.
9) Ε. Flapan, “When Topology meets Chemistry”, Outlooks, Cambridge University Press.
10) S. Lambropoulou, C.P. Rourke, Markov’s theorem in 3-manifolds, Topology and its Applications, 78, 1997.
11) V.F.R. Jones, Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials, Annals of Mathematics, 126, 1987.
12) S. Antoniou, S. Lambropoulou, Extending Topological Surgery to Natural Processes and Dynamical Systems, PLoS ONE 12 (2017), No.9: e0183993.