ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ & ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ


ΓΕΝΙΚΑ

ΕΞΑΜΗΝΟ ΦΟΙΤΗΣΗΣ: 1ο
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: Μάθημα Κορμού
ΠΙΣΤΩΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ: 6

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ

Γερ. Αθανασούλης

ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

Λογισμός συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, Συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις (καλού προπτυχιακού επιπέδου)

ΣΤΟΧΟΣ

α) Η επέκταση των μεθόδων του διαφορικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών σε συναρτησιακά και τελεστές,
β) Η αξιοποίηση του α) στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης,
γ) Η εισαγωγή και αξιοποίηση μεταβολικών διατυπώσεων σε προβλήματα της Μηχανικής, της Μηχανικής του Συνεχούς Μέσου, και της Ηλεκτροδυναμικής

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

(1) Υπόβαθρο – Συναρτησιακές Παράγωγοι. Μετρικοί χώροι (σύγκλιση, συνέχεια, πληρότητα, συμπάγεια), Χώροι Banach, Χώροι Hilbert, Χώροι συναρτήσεων. Γραμμικά και μη Γραμμικά συναρτησιακά. Παραδείγματα σημαντικών συναρτησιακών από την Φυσική και την Τεχνολογία. Γραμμικοί, πολυγραμμικοί και πολυωνυμικοί τελεστές. Παράγωγοι συναρτησιακών και τελεστών (Συναρτησιακές Παράγωγοι κατά Gateaux, Frechet, Hadamard, Volterra). Διαφορικός Λογισμός συναρτησιακών και τελεστών κατά Volterra και κατά Frechet (Θεωρήματα μέσης τιμής, παραγώγιση σύνθετων τελεστών, παράγωγοι ανωτέρας τάξεως, Θεωρήματα Volterra-Taylor και Frechet-Taylor).
(2) Προβλήματα βελτιστοποίησης και μεταβολική Μηχανική. Παραδείγματα προβλημάτων βελτιστοποίησης από την γεωμετρία, την φυσική και την τεχνολογία. Αναγκαίες συνθήκες ακροτατοποίησης (βελτιστοποίησης), Εξισώσεις Euler. Μεταβολικές εξισώσεις. Σχέση μεταβολικών εξισώσεων με εξισώσεις άλλων μορφών (διαφορικές, ολοκληρωτικές, ολοκληροδιαφορικές). Ικανές συνθήκες ακροτατοποίησης. Μεταβολικές εξισώσεις στην Μηχανική και στην σύγχρονη Μαθηματική Φυσική. Μηχανικά συστήματα με συνδέσμους. Ολόνομοι και μη-ολόνομοι σύνδεσμοι. Αρχή δυνατών έργων. Γενικευμένες συντεταγμένες και γενικευμένες ταχύτητες. Εξισώσεις Lagrange πρώτου και δευτέρου είδους. Συναρτήσεις δυναμικού (μορφής και κατάστασης). Γενικευμένες ορμές και εξισώσεις Hamilton. Πρώτη και δεύτερη μορφή της Αρχής του Hamilton. Διατηρήσιμες ποσότητες, Θεώρημα Noether. Εφαρμογές.
(3) Μεταβολικές αρχές και Προτυποποίηση του Συνεχούς. Μεταβολικές αρχές και Μηχανική του Συνεχούς Μέσου. Ελαστοδυναμικές εξισώσεις και Αρχή του Hamilton. Παραγωγή θεωριών δοκών και πλακών από την Αρχή του Hamilton. Αστρόβιλη ροή και Αρχή του Hamilton. Μεταβολικές αρχές για τα μη γραμμικά κύματα ελεύθερης επιφάνειας. Αρχή του Luke. Συστηματική παραγωγή απλοποιημένων κυματικών θεωριών από μεταβολικές αρχές. Αρχή του Hamilton και ροές με στροβιλότητα. Μεταβολικές αρχές στην ηλεκτροδυναμική. Εφαρμογές σε συζευγμένα πεδία. Υδρο-πιεζο-ηλεκτρικά συστήματα παραγωγής ενέργειας.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Σημειώσεις του διδάσκοντος (ανανεωνόμενες κάθε χρόνο)

Λογισμός σε γραμμικούς χώρους με νόρμα

• Cartan, H., 1971, Differential Calculus, Herman/Kershaw Publ. Co.
• Jost, J., 2005, Postmodern Analysis, Springer-Verlag
• Mukherjea, K., 2003, Differential Calculus in Normed Linear Spaces, Hindustan Book Agency
• Rall, L.B., 1971, Nonlinear Functional Analysis and Applications, Academic Press
• Vainberg, M.M., 1964, Variational Methods for the Study of Nonlinear Operators, Holden-Day, Inc.
• Volterra, V., 1930/1959/2005, Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations, Blackie & Sons 1930, Dover 1959, Dover/Phoenix, 2005

Λογισμός των Μεταβολών, Αναλυτική Μηχανική και Συνεχές Μέσον

• Gantmacher, F., 1975_Lectures in Analytical Mechanics, MIR Publishers
• Gelfand, I.M., Fomin, S.V., 1963, Calculus of Variations, Prentice-Hall, Inc.
• Khmelnik, S., 2008, Variational Principle of Extremum in electromechanical and electrodynamic Systems
• O’Reilly, O.M., 2017, Modeling Nonlinear Problems in the Mechanics of Strings and Rods, Springer
• Pars, L.A., 1965, A Treatise on Analytical Dynamics, Heinemann
• Udwadia, F.E., Kalaba, R.E., 1996, Analytical Dynamics. A New Approach, Cambridge University Press
• Washizu, K., 1975, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press
• Yougrau, W., Mandelstam, S., 1968/1979, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory, Saunders 1968, Dover 1979

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΓΕΝΙΚΑ

ΕΞΑΜΗΝΟ ΦΟΙΤΗΣΗΣ: 1ο
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: Μάθημα Κορμού
ΠΙΣΤΩΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ: 6

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ

Γερ. Αθανασούλης

ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

Λογισμός συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, Συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις (καλού προπτυχιακού επιπέδου)

ΣΤΟΧΟΣ

α) Η επέκταση των μεθόδων του διαφορικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών σε συναρτησιακά και τελεστές,
β) Η αξιοποίηση του α) στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης,
γ) Η εισαγωγή και αξιοποίηση μεταβολικών διατυπώσεων σε προβλήματα της Μηχανικής, της Μηχανικής του Συνεχούς Μέσου, και της Ηλεκτροδυναμικής

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

(1) Υπόβαθρο – Συναρτησιακές Παράγωγοι. Μετρικοί χώροι (σύγκλιση, συνέχεια, πληρότητα, συμπάγεια), Χώροι Banach, Χώροι Hilbert, Χώροι συναρτήσεων. Γραμμικά και μη Γραμμικά συναρτησιακά. Παραδείγματα σημαντικών συναρτησιακών από την Φυσική και την Τεχνολογία. Γραμμικοί, πολυγραμμικοί και πολυωνυμικοί τελεστές. Παράγωγοι συναρτησιακών και τελεστών (Συναρτησιακές Παράγωγοι κατά Gateaux, Frechet, Hadamard, Volterra). Διαφορικός Λογισμός συναρτησιακών και τελεστών κατά Volterra και κατά Frechet (Θεωρήματα μέσης τιμής, παραγώγιση σύνθετων τελεστών, παράγωγοι ανωτέρας τάξεως, Θεωρήματα Volterra-Taylor και Frechet-Taylor).
(2) Προβλήματα βελτιστοποίησης και μεταβολική Μηχανική. Παραδείγματα προβλημάτων βελτιστοποίησης από την γεωμετρία, την φυσική και την τεχνολογία. Αναγκαίες συνθήκες ακροτατοποίησης (βελτιστοποίησης), Εξισώσεις Euler. Μεταβολικές εξισώσεις. Σχέση μεταβολικών εξισώσεων με εξισώσεις άλλων μορφών (διαφορικές, ολοκληρωτικές, ολοκληροδιαφορικές). Ικανές συνθήκες ακροτατοποίησης. Μεταβολικές εξισώσεις στην Μηχανική και στην σύγχρονη Μαθηματική Φυσική. Μηχανικά συστήματα με συνδέσμους. Ολόνομοι και μη-ολόνομοι σύνδεσμοι. Αρχή δυνατών έργων. Γενικευμένες συντεταγμένες και γενικευμένες ταχύτητες. Εξισώσεις Lagrange πρώτου και δευτέρου είδους. Συναρτήσεις δυναμικού (μορφής και κατάστασης). Γενικευμένες ορμές και εξισώσεις Hamilton. Πρώτη και δεύτερη μορφή της Αρχής του Hamilton. Διατηρήσιμες ποσότητες, Θεώρημα Noether. Εφαρμογές.
(3) Μεταβολικές αρχές και Προτυποποίηση του Συνεχούς. Μεταβολικές αρχές και Μηχανική του Συνεχούς Μέσου. Ελαστοδυναμικές εξισώσεις και Αρχή του Hamilton. Παραγωγή θεωριών δοκών και πλακών από την Αρχή του Hamilton. Αστρόβιλη ροή και Αρχή του Hamilton. Μεταβολικές αρχές για τα μη γραμμικά κύματα ελεύθερης επιφάνειας. Αρχή του Luke. Συστηματική παραγωγή απλοποιημένων κυματικών θεωριών από μεταβολικές αρχές. Αρχή του Hamilton και ροές με στροβιλότητα. Μεταβολικές αρχές στην ηλεκτροδυναμική. Εφαρμογές σε συζευγμένα πεδία. Υδρο-πιεζο-ηλεκτρικά συστήματα παραγωγής ενέργειας.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Σημειώσεις του διδάσκοντος (ανανεωνόμενες κάθε χρόνο)

Λογισμός σε γραμμικούς χώρους με νόρμα

• Cartan, H., 1971, Differential Calculus, Herman/Kershaw Publ. Co.
• Jost, J., 2005, Postmodern Analysis, Springer-Verlag
• Mukherjea, K., 2003, Differential Calculus in Normed Linear Spaces, Hindustan Book Agency
• Rall, L.B., 1971, Nonlinear Functional Analysis and Applications, Academic Press
• Vainberg, M.M., 1964, Variational Methods for the Study of Nonlinear Operators, Holden-Day, Inc.
• Volterra, V., 1930/1959/2005, Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations, Blackie & Sons 1930, Dover 1959, Dover/Phoenix, 2005

Λογισμός των Μεταβολών, Αναλυτική Μηχανική και Συνεχές Μέσον

• Gantmacher, F., 1975_Lectures in Analytical Mechanics, MIR Publishers
• Gelfand, I.M., Fomin, S.V., 1963, Calculus of Variations, Prentice-Hall, Inc.
• Khmelnik, S., 2008, Variational Principle of Extremum in electromechanical and electrodynamic Systems
• O’Reilly, O.M., 2017, Modeling Nonlinear Problems in the Mechanics of Strings and Rods, Springer
• Pars, L.A., 1965, A Treatise on Analytical Dynamics, Heinemann
• Udwadia, F.E., Kalaba, R.E., 1996, Analytical Dynamics. A New Approach, Cambridge University Press
• Washizu, K., 1975, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press
• Yougrau, W., Mandelstam, S., 1968/1979, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory, Saunders 1968, Dover 1979