Πεπερασμένες Διαφορές & Πεπερασμένα Στοιχεία για ΜΔΕ

Διδάσκων:   Μ. Γεωργούλης, ΣΕΜΦΕ

Ώρες διδασκαλίας4 ώρες  εβδομαδιαία

Περιγραφή Μαθήματος: Το μάθημα αφορά την συστηματική εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, με έμφαση στις μεθόδους Πεπερασμένων Διαφορών και την ανάλυση σφάλματός τους και τις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων όπου, εκτός από την ανάλυση σφάλματός τους, θα εισάγουμε και τις βασικές έννοιες σχεδιασμού και υλοποίησης προσαρμοστικών αλγορίθμων.

Ύλη Μαθήματος (στα Αγγλικά για προσβασιμότητα από φοιτητές του εξωτερικού.)

Part I:  Very brief Introduction to the theory of Partial Differential Equations (PDEs)

Classification of PDEs, solution by the method of characteristics, Cauchy problem, Cauchy-Kowaleskaya Theorem, well-posedness in the sense of Hadamard, equations of mathematical physics, Dirichlet and Neumann problems, solution by separation of variables, Fourier series. 

Part II:  Finite Difference Methods for PDEs

Divided differences, the two-point boundary value problem and a simple finite difference method for it, its error analysis, explicit and implicit finite difference methods for parabolic problems, error analysis and stability analysis, simple finite difference methods for elliptic problems, the CFL condition, finite difference methods for hyperbolic problems, the upwin scheme, the Lax-Wendroff method, the leapfrog scheme.

Part III:  Finite Element Methods for PDEs

Introduction to weak derivatives and to function spaces (Lebesgue and Sobolev spaces), Dirichlet principle, weak form of PDE problems, energy method, Galerkin projection and orthogonality, finite element spaces, the finite element method, Cea’s lemma, a priori error analysis of the finite element method for elliptic problems, finite element methods for parabolic problems, discontinuous Galerkin finite element methods for hyperbolic problems, a posteriori error analysis and adaptivity.