ΚΥΜΑΤΙΔΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (WAVELETS), ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΓΕΝΙΚΑ

ΕΞΑΜΗΝΟ ΦΟΙΤΗΣΗΣ:
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: Τεχνολογίες Αιχμής
ΠΙΣΤΟΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ: 6

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ

Γερ. Αθανασούλης

ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ

Συναρτησιακή Ανάλυση (προπτυχιακό ή μεταπτυχιακό).

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ

Παράδοση ασκήσεων, Μελέτη και παρουσίαση θεμάτων σχετικών με τα ζητήματα που θα αναπτυχθούν στο μάθημα, και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Χώροι Hilbert: Παραδείγματα, βέλτιστη προσέγγιση, θεώρημα προβολής, θεώρημα αναπαράστασης του Riesz. Ορθοκανονικά συστήματα, ορθοκανονικές βάσεις και παραδείγματα (πολυώνυμα Legendre, Hermite και Laguerre, το τριγωνομετρικό σύστημα, ορθοκανονικά συστήματα των Rademacher, Walsh και Haar). Θεώρημα Riesz-Fischer και χαρακτηρισμός των ορθοκανονικών βάσεων. Διορθογώνια συστήματα. Θεωρία πλαισίων (Frame theory), δυϊκά πλαίσια, αντιστροφή.

Σειρές Fourier: Λήμμα των Riemann-Lebesgue, πυρήνες αθροιστικότητας των Dirichlet, Fejér και Poisson. Σημειακή σύγκλιση σειρών Fourier (θεωρήματα των Fejér, Fejér-Lebesgue και Dirichlet – Jordan). Φαινόμενο Gibbs και εφαρμογές.

Μετασχηματισμός Fourier: Μετασχηματισμός Fourier στον : μετασχηματισμός συνέλιξης δύο συναρτήσεων, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier. Μετασχηματισμός Fourier στον , θεωρήματα Plancherel και Shannon. Τοπικός (windowed) μετασχηματισμός Fourier (μετασχηματισμός Gabor). Θεώρημα αντιστροφής.

Εισαγωγή στην κυματιδιακή ανάλυση (wavelets): Ο συνεχής μετασχηματισμός wavelet, θεώρημα αντιστροφής. Παραδείγματα κυματιδίων (Haar, Meyer, Mexican hat, Morlet). Ορθογώνια και μη ορθογώνια wavelets. Λειότητα, συμμετρία. Διακριτός μετασχηματισμός wavelet. Πολυδιακριτική ανάλυση (multiresolution analysis). Ταχύς μετασχηματισμός wavelet (FWT, αλγόριθμος του Mallat). Παραγώγιση και wavelets. Εφαρμογές στην ανάλυση σήματος. Εφαρμογές σην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Bachman, G., Narici, L., Beckenstein, E., Fourier and Wavelet Analysis, Springer-Verlag, New York, 2000.
Benedetto, J., Frazier, M., Wavelets : Mathematics and Applications, CRC Press, 1994.
Daubechies, I., Ten Lectures on Wavelets, SIAM Press, Philadelphia PA, 1992.
Louis, A.K., Maaß, P., Rieder, A., Wavelets: Theory and Applications, John Wiley & Sons, West Sussex, 1997.
Mallat, S., A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, 1998.
Resnikoff, H., Wells, R., Wavelet Analysi: The Scalable Structure of Information, Springer-Verlag, New York, 1998.