ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΓΕΝΙΚΑ

ΕΞΑΜΗΝΟ ΦΟΙΤΗΣΗΣ: 2ο
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: Μάθημα Κορμού
ΠΙΣΤΟΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ: 8

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ

Σταυρακάκης Νικόλαος
Ζωγραφόπουλος Νικόλαος
Σταυρουλάκης Στυλιανός
Τραχανάς Γεώργιος

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

Προαπαιτούμενα: Συνήθεις & Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (προπτυχιακά), Δυναμικά Συστήματα (μεταπτυχιακό), Συναρτησιακή Ανάλυση (μεταπτυχιακό).
Σκοπός του Μαθήματος: Η μελέτη Γραμμικών και Μη-Γραμμικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων της Μαθηματικής Φυσικής με μεθόδους Συναρτησιακής Ανάλυσης. Η μελέτη θα γίνει τόσο με κλασικές μεθόδους εκτιμήσεων καθώς και με σύγχρονες μεθόδους του Λογισμού των Μεταβολών και της Θεωρίας των Διακλαδώσεων.
Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων(20%), ενδιάμεση εξέταση (20%), και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου (60%).

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Εισαγωγή: Κατανομές - Χώροι Lebesgue - Ασθενής και Ασθενής-* Σύγκλιση - Χώροι Sobolev - Ανισώσεις και Εμφυτεύσεις.
Ελλειπτικές Εξισώσεις: Ορισμοί - Τύποι Λύσεων - Θεωρήματα Lax-Milgram και Stampaccia - Ανίσωση G rding - Ύπαρξη και Μονοσήμαντο Λύσεων - Ομαλότητα - Αρχή Μεγίστου - Προβλήματα Ιδιοτιμών.
Παραβολικές Εξισώσεις: Συναρτήσεις με Τιμές σε Χώρους Banach - Ύπαρξη και Μονοσήμαντο Λύσεων - Ομαλότητα - Αρχή Μεγίστου, Εφαρμογές.
Υπερβολικές εξισώσεις: Ύπαρξη και Μονοσήμαντο Λύσεων - Ομαλότητα - Αρχή Μεγίστου - Εφαρμογές.
Θεωρία Διακλάδωσης: Τοπική Θεωρία Διακλάδωσης [Θεωρία Αναγωγής Lyapunov-Schmidt, Θεώρημα Crandall-Rabinowitz, Εναλλαγή Ευστάθειας(Exchange of Stability)] –Θεωρία Ολικής Διακλάδωσης (Θεωρία Βαθμού –Θεωρήματα Ολικής Διακλάδωσης των Rabinowitz και Dancer) - Γενικεύσεις - Εφαρμογές.
Μεταβολικές Μέθοδοι: Εισαγωγικά - Ελαχιστοποίηση Ενέργειας - Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού Μεταβολών - Συνθήκη Palais-Smale - Λήμμα Ορεινής Διάβασης – Λήμμα Συγκέντρωσης-Συμπάγειας του Lion (Lion’s Concentration- Compactness Lemma) - Εφαρμογές.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

[AD] Adams R A, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.
[AP] Ambrosetti A and Prodi G, A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press, 1993.
[B] Ball J, An Introduction to Variational Methods for Nonlinear Problems, Lecture Notes, Master Course, Heriot- Watt University, Edinburgh, 1995.
[BE] Bebernes J and Eberly D, Mathematical Problems from Combustion Theory, Springer Verlag, New York, 1989.
[BR] Brezis H, Analyse Functionelle: Theorie et Applications, Masson, Paris, 1987.
[BUF] Buffoni B and Tolland J, Analytic Theory of Global Bifurcation, Princeton Series in Applied Mathematics, 2003.
[BU] Burton G, An Introduction to Variational Methods, Lecture Notes, Master Course, Bath University, 1994.
[DA] Dacorogna B, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer-Verlag, Berlin, 1989.
[E] Evans Lawrence C., Partial Differential Equations, AMS, 1998,
[EG] Evans L. and Gariepy R. F., Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, BocaRaton, 1992.
[GT] D. Gilbarg and N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order (2nd Edition), Springer-Verlag, Berlin, 1983.
[GD] Gui-Qiang Chen and Emmanuele DiBenedetto, Nonlinear Partial Differential Equations, AMS, 1999,
[KI] Kielhöfer Hansjörg, Bifurcation Theory: An Introduction with Applications to PDE’s, Series: Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, 2003,
[L] O A Ladyzhenskaya, The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Springer-Verlag, New York, 1985.
[LE] Harold Levine, Partial Differential Equations, AMS/INP, 1997,
[NL] Nirenberg L., Topics in Nonlinear Functional Analysis, Courant Lecture Notes in Mathematics, AMS, 2001.
[PW] Protter M H and H F Weinberger, Maximum Principles in Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1984.
[RR] Renardy M. and Rogers R C, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer Verlag, New York, 1993.
[STA] Stavrakakis N, Partial Differential Equations for Science and Technology(in Greek), Athens, 2002.
[SM] Smoller J., Shock waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer Verlag, New York, 1983.
[STR] Struwe M, Variational Methods, Springer-Verlag, Berlin, 1990.
[TA] Tanabe H, Functional Analytic Methods for Partial Differential Equations, Marcel Dekker, Inc, 1996.
[TO] Toland J. F., Bifurcation Theory, Lecture Notes, Master Course, Bath University, 1992.
[W] Willem M, Minimax Theorems, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, Birkhauser, Basel, 1996.
[ZE] Zeidler E, Functional Analysis and its Applications (Vol. I, IIa, IIb, III), Springer Verlag, Berlin, 1990.