ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΓΕΝΙΚΑ

ΕΞΑΜΗΝΟ ΦΟΙΤΗΣΗΣ: 1ο
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: Μάθημα Κορμού
ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ: 4 Δ.Μ. / 8

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ

Σταυρακάκης Νικόλαος, Ρόθος Βασίλειος

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

Προαπαιτούμενα: Λογισμός Μιας &Πολλών Μεταβλητών, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (προπτυχιακά), Γραμμική Άλγεβρα.
Σκοπός του Μαθήματος: Η μελέτη γραμμικών και μη γραμμικών συνήθων διαφορικών εξισώσεων με αναλυτικές, γεωμετρικές και αριθμητικές μεθόδους. Eπίσης θα γίνει εξάσκηση των σπουδαστών στους υπολογιστές σε σχετικά προγράμματα.
Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων(20%), ενδιάμεση εξέταση (20%), και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου (60%).

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ: (Από Βιβλίο [ST]: Κεφάλαιο 3)
• Ύπαρξη και Μονοσήμαντο Λύσης Διαφορικών Εξισώσεων; Επεκτασιμότητα Λύσης; Εξάρτηση από Αρχικές Συνθήκες και Παραμέτρους; Διαφορισιμότητα Λύσης; Ανίσωση Gronwall.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ: (Από Βιβλίο [ST]: Κεφ. 8 και [HK]: Κεφ. 7, 8 )
Εισαγωγή: Χώρος Φάσεων, Κρίσιμα Σημεία, Περιοδικές Λύσεις, Ευστάθεια, α-(ω-) οριακά σύνολα, Αναλλοίωτα Σύνολα, Ελκυστές, Ευστάθεια.
Γραμμικά Συστήματα: Γενική Θεωρία; Επίπεδα Αυτόνομα Συστήματα; Κανονικές Μορφές; Ποιοτική Ισοδυναμία Γραμμικών Συστημάτων; Ταξινόμηση Εικόνων Φάσεων.
Σχεδόν Γραμμικά Συστήματα: Εισαγωγή; Ισοδυναμία Ροών στη 1 διάσταση; Ποιοτική Ισοδυναμία Γραμμικών Συστημάτων στο Επίπεδο (Γραμμική – Τοπολογική – Διαφορίσιμη Ισοδυναμία); Ισοδυναμία Μη Γραμμικών Ροών.
Γραμμικοποίηση: Τοπική και Ολική Συμπεριφορά, Γραμμικοποίηση γύρω από Σταθερό Σημείο, Θεώρημα Γραμμικοποίησης (Hartman - Grobman).
Μέθοδος Lyapunov: Συναρτησιακό Lyapunov; Θεωρήματα Ευστάθειας & Αστάθειας του Lyapunov; Πεδίο Έλξης; Αρχή του Αναλλοιώτου.

ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ:(Από Βιβλίο [HK]: Κεφάλαια 2,7,8,10,11,12, 13)
Στοιχειώδεις Διακλαδώσεις στη 1-Διάσταση (Saddle-Node, Transcritical, Hysteresis, Pitchfork, Fold & Cusp); Τοπικές Διαταραχές κοντά σε Στάσιμα Σημεία (Υπερβολικά Στάσιμα Σημεία, Στάσιμα Σημεία με Τετραγωνικό και Κυβικό Εκφυλισμό) ,
Στοιχειώδεις Διακλαδώσεις στις 2-Διαστάσεις (Saddle-Node, Pitchfork, Vertical, Poincar\'e-Andronov-Hopf, Homoclinic or Saddle-Loop),
Παρουσία Μηδενικής Ιδιοτιμής: Ευστάθεια; Διακλαδώσεις; Ευσταθείς & Ασταθείς Πολλαπλότητες; Κεντρική Πολλαπλότητα.
Θεωρία Βαθμωτών Απεικονίσεων: Εισαγωγικά; Ευστάθεια; Διακλαδώσεις Μονότονων Απεικονίσεων; Διακλάδωση Διπλασιασμού Περιόδου.
Βαθμωτές Μη-Αυτόνομες Εξισώσεις: Θεωρία Floquet: Εισαγωγή- Βασική Θεωρία - Εξίσωση Mathieu; Εισαγωγικά για τις Μη-Αυτόνομες Εξισώσεις; Γεωμετρική Θεωρία Περιοδικών Λύσεων; Περιοδικές Εξισώσεις σ’ ένα Κύλινδρο; Παραδείγματα Περιοδικών Εξισώσεων; Ευστάθεια Περιοδικών Λύσεων; Ευστάθεια & Διακλαδώσεις Περιοδικών Εξισώσεων.
Σύστημα Γινόμενο - Πρώτα Ολοκληρώματα - Συντηρητικά Συστήματα
Παρουσία Καθαρά Φανταστικών Ιδιοτιμών: Ευστάθεια; Διακλαδώσεις Poincar\'e - Andronov – Hopf.

ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΟΥΣ:
Θεωρία Αναλλοίωτων πολλαπλοτήτων. Χαμιλτονιανά Συστήματα
Εισαγωγή στην Χαοτική Δυναμική Παραδείγματα Χαοτικών Δυναμικών Συστημάτων. Τρόποι Μετάβασης στο Χάος: Ακολουθίες Διπλασιασμού Περιόδου, Εφμάνιση παράξενου ελκυστή.
Οριμός του Χάους Αναλλοίωτα Σύνολα και Συμβολική Δυναμική. Αλογοπέταλο Smale. Ορισμός του Χάους. Θεώρημα Sharkovskii. Συνθήκες Conley-Moser. Αρθμητικές Εφαρμογές.
Ομοκλινικό Χάος. Χαμιλτονιανά Συστήματα. Σύντομη αναφορά σε μεθόδους θεωρίας διαταραχών. Θεωρία Melnikov για την διατήρηση διαταραγμένων ομοκλινικών τροχιών (με γεωμετρικό και αναλυτικό τρόπο). Διάχυση μέσω Ομοκλινικών Πλεγμάτων. Εφαρμογές σε ταλαντωτές Duffing, Lorentz. Εφαρμογές στην Μηχανική. Αριθμητικές Εφαρμογές (MATLAB)

[GH], [WS1], [WS2], [CC], [AP], [RV1], [GP], [TS], [ST], [CW], [LY]

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

[CH] Chow S N and Hale J K, Methods of Bifurcation Theory, Springer Verlag, New York, 1982.
[CR] Cronin J., Differential Equations. Introduction and Qualitative Theory, Marcel Dekker, Inc., New York, 1980.
[DE] Devaney R L, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Springer Verlag, New York, 1986.
[GH] Guckenheim J and Holmes Ph, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer Verlag, New York, 1983.
[HK] Hale J K and H Kocak, Dynamics and Bifurcation, Springer Verlag, New York, 1992.
[HM] Humi M and Miller W, Second Course in Ordinary Differential Equations for Scientists and Engineers, Springer Verlag, New York, 1988.
[JS] Jordan D W and P. Smith, Nonlinear Ordinary Differential Equations, 2nd Edition, Clarendon Press, Oxford, 1987.
[KP] Kelley W. and A. Peterson, The Theory of Differential Equations: Classical and Qualitative, Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, NJ, 2004.
[LY] Lynch Stephen, Dynamical Systems with Applications using MATLAB, Birkhäuser, 2004,
[KI] Kielhöfer Hansjörg, Bifurcation Theory: An Introduction with Applications to PDEs, Series: Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, 2003,
[PE] Perko L, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer Verlag, New York, 1991.
[WS1] Wiggins S, Global Bifurcation and Chaos: Analytical Methods, Springer Verlag, New York, 1988.
[WS2] Wiggins S, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (2nd Edition), Texts in Applied Mathematics, Springer Verlag, New York, 2003.
[ZHA] Zhao, Xiao-Qiang, Dynamical Systems in Population Biology, Series: CMS Books in Mathematics, 2003.
[CC] Chicone, C. Ordinary Differential Equations with Applications, Springer, New York, 1999.
[AP] Arrowsmith, D. K., and Place, C. M. An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1990.
[RV1] Rothos, V. Geometric Theory of Dynamical Systems, Lecture Notes, AUTH 2007.
[GP] Glendinning, P. Stability, Instability and Chaos An Introduction to the Theory of Nonlinear Differential Equations, Cambridge University Press 1999.
[TS] Thompson J.M.T and Stewart H.B Nonlinear Dynamics and Chaos 2nd edition, Wiley, 2002.
[ST] Strogatz, St Nonlinear Dynamics and Chaos, with Applications in Physics, Biology, Chemistry, and Engineering Studies in Nonlinearity, Addison-Wesley, 1994.
[CW] Cross,M http://www.cmp.caltech.edu/~mcc/Chaos_Course/Outline.html
[ST] N. M. Stavrakakis, Ordinary Differential Equations. Linear and Nonlinear Theory. With Applications from Nature and Life (in Greek). Papasotiriou Publ., Athens, 1997.