ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΓΕΝΙΚΑ

ΕΞΑΜΗΝΟ ΦΟΙΤΗΣΗΣ: 1ο
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: Τεχνολογίες Αιχμής
ΠΙΣΤΟΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ: 8

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Κ. Χρυσαφίνος

ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ

Μερικές Διαφορικές εξισώσεις, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (προπτυχιακά), Γραμμική Άλγεβρα.

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ

Συνυπολογίζονται: βαθμός τελικής γραπτής εξέτασης και βαθμός εργασίας εξαμήνου.

ΣΚΟΠΟΣ

Η Αριθμητική Ανάλυση είναι η γενική μελέτη των μεθόδων επίλυσης περίπλοκων μαθηματικών προβλημάτων που προκύπτουν στην Επιστήμη και στην Τεχνολογία, οι οποίες χρησιμοποιούν τις βασικές αριθμητικές πράξεις (+, –, x, /). Περιλαμβάνει τρεις αλληλοσχετιζόμενες δραστηριότητες:

- Τον αριθμητικό προσδιορισμό, π.χ. σε μορφή κατάλληλων εξισώσεων ή/και ανισοτήτων (καλούνται μαθηματικά πρότυπα, ή μοντέλα), και τη μελέτη των αριθμητικών ιδιοτήτων των μαθηματικών προβλημάτων, τα οποία περιγράφουν τη συμπεριφορά κάποιου συστήματος (φυσικού, τεχνολογικού, οικονομικού, ή άλλου),
- Την ανάπτυξη μεθόδων (και αλγορίθμων) για την εύρεση αριθμητικών λύσεων των προβλημάτων αυτών,
- Την ανάλυση των ιδιοτήτων των παραπάνω μεθόδων.

Τα μαθηματικά πρότυπα αναπτύσσονται από επαγγελματίες σε διάφορες περιοχές εφαρμογών, δηλαδή από επιστήμονες, μηχανικούς, ή οικονομολόγους, χρησιμοποιώντας συχνά αριθμητικές μεθόδους.
Οι επιστήμονες δεν γνωρίζουν τις ακριβείς λύσεις των περισσότερων μαθηματικών προβλημάτων που προκύπτουν στις εφαρμογές. Όταν υπάρχουν τέτοιες λύσεις, εν γένει δεν είναι γνωστές σε κλειστή, αναλυτική μορφή, δηλ. σε μορφή τύπων (όπως π.χ. οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ). Σε μερικές περιπτώσεις έχει μάλιστα αποδειχθεί θεωρητικά ότι οι υπάρχουσες ακριβείς λύσεις δεν μπορούν να υπολογιστούν με ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών πράξεων (π.χ. στις πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού >4, βάσει της θεωρίας Galois). Έτσι, οι επιστήμονες αναγκάζονται να βρούν προσεγγιστικές λύσεις των παραπάνω προβλημάτων. Οι λύσεις αυτές υπολογίζονται συνήθως με τη βοήθεια Υπολογιστή. Ακόμη και στις ελάχιστες περιπτώσεις όπου διατίθενται αναλυτικές εκφράσεις για τις λύσεις (όπως π.χ. στα γραμμικά συστήματα), ο Υπολογιστής είναι απαραίτητος διότι ο χρόνος υπολογισμού από τον άνθρωπο ξεπερνά συχνά τα όρια ζωής του.
Σκοπός της Αριθμητικής Ανάλυσης είναι λοιπόν η επινόηση, η διερεύνηση, και η προσαρμογή σε Υπολογιστή (implementation) προσεγγιστικών μεθόδων για τον προσδιορισμό, τη μελέτη, και την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων. Η διερεύνηση συνίσταται στη μελέτη και τη σύγκριση των αριθμητικών μεθόδων ως προς:

- Τις ασυμπτωτικές ιδιότητες και τη συμπεριφορά των προσεγγιστικών μοντέλων και λύσεων (π.χ. σύγκλιση, ταχύτητα σύγκλισης),
- Τα φράγματα σφαλμάτων των προσεγγιστικών λύσεων (εκτιμήσεις σφάλματος),
- Την αριθμητική ευστάθεια (άρα την αξιοπιστία),
- Τις υπολογιστικές και αλγοριθμικές ιδιότητες που αντιστοιχούν στις μεθόδους.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Γραμμικά Συστήματα. Νόρμες διανυσμάτων και πινάκων, Μέθοδοι απαλοιφής Gauss, LU και Choleski. Εκτιμήσεις σφάλματος αποκοπής. Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων. Γενική επαναληπτική μέθοδος σταθερού σημείου. Μέθοδοι Jacobi, Gauss-Seidel και Χαλάρωσης. Μέθοδοι υπολογισμού ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων: Μέθοδοι των Δυνάμεων και QR. Μέθοδοι των Ελαχίστων Τετραγώνων.
Τα γραμμικά συστήματα είναι της μορφής , όπου ένας πίνακας και ένα διάνυσμα. Προκύπτουν σε πολλές εφαρμογές και διάφορα προβλήματα (π.χ. επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, γραμμικός προγραμματισμός). Αποτελούν ένα σημαντικό κεφάλαιο της Αριθμητικής Ανάλυσης και ένα αρκετά μεγάλο ποσοστό της χρήσης των Υπολογιστών για επιστημονικούς υπολογισμούς. Οι μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων χρησιμοποιούνται επίσης και στις επαναληπτικές μεθόδους για μη γραμμικά συστήματα. Ο υπολογισμός των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα είναι πολύ σημαντικός σε πολλές εφαρμογές (π.χ. συντονισμοί στη Μηχανική). Τα Ελάχιστα Τετράγωνα εφαρμόζονται συχνά ως τεχνικές προτυποποίησης.

Μη Γραμμικά Συστήματα. Γενική επαναληπτική μέθοδος σταθερού σημείου. Θεωρήματα τοπικής και περιορισμένης σύγκλισης. Μέθοδοι Newton και Quasi-Newton.
Τα μη γραμμικά συστήματα είναι της μορφής , όπου ένα διάνυσμα και μια διανυσματική συνάρτηση. Έχουν και αυτά πολλές εφαρμογές αφού πολλά φυσικά, τεχνολογικά, και οικονομικά μοντέλα είναι στην πραγματικότητα μη γραμμικά.

Παρεμβολή και Προσέγγιση. Παρεμβολή Lagrange, Hermite, και κατά τμήματα πολυωνυμική, Σφηνοειδείς συναρτήσεις (splines). Εισαγωγή στη Θεωρία Προσέγγισης Συναρτήσεων: Προσέγγιση με τα Ελάχιστα Τετράγωνα, Ορθογώνια πολυώνυμα, Προσέγγιση min-max Chebychev.
Στην Παρεμβολή, ορίζεται μια συνάρτηση απλής μορφής, π.χ. (κατά τμήματα) πολυωνυμικής, η οποία παίρνει τις ίδιες τιμές με μια δεδομένη συνάρτηση σε ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων. Η παράγωγος και το ολοκλήρωμα της συνάρτησης μπορούν έτσι να αντικατασταθούν με τα αντίστοιχα για την παρεμβάλλουσα συνάρτηση, για ευκολότερο υπολογισμό. Στη Θεωρία Προσέγγισης, ζητείται και κατασκευάζεται μια συνάρτηση απλής μορφής που να ελαχιστοποιεί κάποια νόρμα (π.χ. του ή ) τις διαφοράς με τη δεδομένη συνάρτηση (βέλτιστη προσέγγιση).

Αριθμητική Ολοκλήρωση. Μέθοδος ολοκλήρωσης Gauss. Μέθοδοι πολλαπλής ολοκλήρωσης.
Η μέθοδος ολοκλήρωσης Gauss αποτελεί ένα πανίσχυρο εργαλείο για την προσεγγιστική ολοκλήρωση μιας συναρτησης, και όχι μόνο μιας μεταβλητής. Η κομψή απόδειξη του Gauss δείχνει ότι μια ειδική κατανομή κόμβων δίνει τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια. Οι μέθοδοι πολλαπλής ολοκλήρωσης εφαρμόζονται π.χ. στη Μηχανική (εμβαδά, όγκοι, μάζες, κλπ.) και στις μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων.

ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Μέρος του βιβλίου: Μπακόπουλος, Α., και Χρυσοβέργης, Ι., Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα, 1999.
Χρυσοβέργης, Ι., Συμπληρωματικές Μεταπτυχιακές Σημειώσεις.

ΔΙΑΤΙΘΕΜΕΝΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ (στο Εργαστήριο)

Χρυσοβέργης, Ι., Βιβλιοθήκη Προγραμμάτων Αριθμητικής Ανάλυσης σε FORTRAN.
FORTRAN compiler, με Βιβλιοθήκη Προγραμμάτων IMSL.
MATLAB compiler.

ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

Μελέτη θεωρητικών θεμάτων Αριθμητικής Ανάλυσης.
Μελέτη υπολογιστικών θεμάτων Αριθμητικής Ανάλυσης.
Ανάπτυξη προγραμμάτων για Υπολογιστή (με τη βοήθεια του διατιθέμενου λογισμικού).

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Cheney, E.W., Introduction to Approximation Theory, McGraw-Hill, 1966.
Ciarlet, P.G., Introduction to Numerical Linear Algebra and Optimization, Cambridge University Press, 1989.
Dahlquist, G., and Bjorck, A., Numerical methods, Prentice-Hall, 1974.
Davis, P.J., and Rabinowitz, P., Methods of Numerical Integration, Academic Press, 1984.
Dennis, J., and Schnabel, R., Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, Prentice-Hall, 1983.
Stoer, J., and Bulirsch, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer, 1993.
Wilkinson, J. H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford, 1965.
Ακρίβης, Γ.Δ., και Δουγαλής, Β.Α., Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1997.
Μπακόπουλος, A., και Χρυσοβέργης, I., Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα, 1999.
Παπαγεωργίου, Γ., και Τσίτουρας, Χ., Αριθμητική Ανάλυση με Εφαρμογές σε MATLAB και MATHEMATICA, Αθήνα, 2004.
Χρυσοβέργης, Ι., Συμπληρωματικές Μεταπτυχιακές Σημειώσεις.