ΑΡΙΘΜΙΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΓΕΝΙΚΑ

ΕΞΑΜΗΝΟ ΦΟΙΤΗΣΗΣ: 2ο
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: Μάθημα Κορμού
ΠΙΣΤΟΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ: 8

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ

Ίων Χρυσοβέργης, Σ. Βουτσινάς

ΤΡΟΠΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ:

0.4 Βαθμό τελικής γραπτής εξέτασης 1ου Μέρους + 0.4 Βαθμό τελικής γραπτής εξέτασης 2ου Μέρους + 0.2 Βαθμό εργασιών εξαμήνου.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Μέρος Α. (Γ. Παπαγεωργίου)

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ

Εισαγωγικά: Εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις. Διαφορικά συστήματα. Ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων. Πρόβλημα αρχικών τιμών 1ης τάξης. Πρόβλημα αρχικών τιμών ανώτερης τάξης. Θεωρία διαφορών. Εξισώσεις διαφορών. Αριθμητικές μέθοδοι. Σφάλματα των αριθμητικών μεθόδων.
Μονοβηματικές Μέθοδοι: Γενικές μέθοδοι απλού βήματος. Μέθοδος σειράς Taylor. Μέθοδοι Runge-Kutta. Τοπικό σφάλμα αποκοπής των μεθόδων Taylor και Runge-Kutta. Ανάπτυξη των μεθόδων Runge-Kutta. Μέθοδοι 3ης και 4ης τάξης. Μέθοδοι ανώτερης τάξης. Εκτίμηση σφάλματος. Έλεγχος του βήματος ολοκλήρω¬σης. Συνεχείς μέθοδοι. Κατασκευή συνεχών μεθόδων. Ευστάθεια αριθμητικών μεθόδων. Απόλυτη ευστάθεια. Άκαμπτα προβλήματα.
Πολυβηματικές Μέθοδοι: Εισαγωγή στις πολυβηματικές μεθόδους. Επιλογή των παρα¬μέτρων. Μέθοδοι Πρόβλεψης-Διόρθωσης. Εκτίμηση σφάλματος. Μέθοδοι τύπου Adams-Bashforth. Μέθοδοι τύπου Adams-Moulton. Ευστάθεια πολυβηματικών μεθόδων. Μηδενική ευστάθεια. Θεωρία ασθενούς ευστάθειας. Ιδιότητες ευστάθειας μερικών μεθόδων. Ευστάθεια μεθόδων Πρόβλεψης-Διόρθωσης. Μέθοδοι για άκαμπτα προβλήματα.
Διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης: Εισαγωγή. Προβλήματα 2ης τάξης. Μέθοδοι Runge-Kutta-Nystrom. Συνεχείς μέθοδοι για μεθόδους Runge-Kutta-Nystrom.

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ

Εισαγωγικά: Εισαγωγή στα συνοριακά προβλήματα. Βασική θεωρία. Προσέγγιση παραγώγων.
Προσεγγιστικές μέθοδοι: Μέθοδος σκόπευσης. Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών. Γραμμικά προβλήματα. Μη γραμμικά προβλήματα. Εκτίμηση σφάλματος. Ευστάθεια μεθόδων. Μέθοδος Πεπερασμένων στοιχείων.

Μέρος Β. ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (Ι. Χρυσοβέργης)

Προβλήματα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ) - Γενική Μέθοδος Galerkin: Γενική διατύπωση των ΠΣΤ σε ασθενή μορφή. Θεώρημα Lax-Milgram. Μέθοδος Galerkin. Εκτίμηση σφάλματος. Μεταβολική μορφή. Μέθοδος Rayleigh-Ritz-Galerkin. Κατανομές. Χώροι Sobolev. Θεωρήματα πυκνότητας, ίχνους, συμπάγειας, και εγκλεισμού Sobolev. Τύποι Green. Ανισότητες Poincaré, Friedrichs, και Korn. Ελλειπτικά ΠΣΤ. Ύπαρξη και μοναδικότητα. Μεικτές συνοριακές συνθήκες.
Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Ελλειπτικά ΠΣΤ: Μονοδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία. Συναρτήσεις βάσης κατά τμήματα πολυωνυμικές. Κυβικές συναρτήσεις Hermite και splines. Πεπερασμένα στοιχεία μεγαλύτερης διάστασης. Συναρτήσεις βάσης κατά στοιχεία πολυωνυμικές. Συναρτήσεις τανυστικά γινόμενα. Κατασκευή καταλλήλων τριγωνισμών. Εκτιμήσεις σφάλματος παρεμβολής και των μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων. Εφαρμογές σε διάφορα προβλήματα της Τεχνολογίας.
Συμπλήρωμα: Μέθοδοι Gauss, LU, και Choleski. Επαναληπτικές Μέθοδοι. Τύποι πολλαπλής αριθμητικής ολοκλήρωσης.
Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Παραβολικά και Υπερβολικά ΠΣΤ: Παραβολικά και υπερβολικά ΠΣΤ. Ύπαρξη και μοναδικότητα. Θ-Μέθοδοι. Μέθοδοι Euler και Crank-Nicolson. Εκτιμήσεις σφάλματος. Μέθοδοι για μη γραμμικά εξελικτικά ΠΣΤ. Εφαρμογές.

Μέρος Γ. ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ (Ι. Χρυσοβέργης)

Θεωρία: Παράγωγοι Fréchet, Gâteaux και κατά κατεύθυνση. Κυρτά σύνολα και κυρτές συναρτήσεις. Θεωρήματα παραγωγισιμότητας και κυρτότητας. Σημεία τοπικού και ολικού ακροτάτου. Ύπαρξη και μοναδικότητα. Βασικές αναγκαίες/ικανές συνθήκες. Τετραγωνικές συναρτήσεις. Θεωρήματα Lagrange, Kuhn-Tucker, και Kuhn-Tucker-Lagrange.
Μέθοδοι Βελτιστοποίησης: Χρυσής Τομής, Newton, Κλίσης, Frank-Wolfe, Προβεβλημένης Κλίσης, Συζυγών Κλίσεων, Ποινών, Κλίσης-Ποινών.
Εφαρμογές: Μη Γραμμικός Προγραμματισμός, Λογισμός Μεταβολών, Βέλτιστος Έλεγχος. Παραδείγματα.

ΒΙΒΛΙΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

Μέρος Α’

Γ. Παπαγεωργίου & Χ. Τσίτουρας: Αριθμητική Ανάλυση με Εφαρμογές σε Matlab και Mathematica, Αθήνα 2000.
Γ. Παπαγεωργίου, Συμπληρωματικές Σημειώσεις στην Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων.

Μέρος Β’

Α. Μπακόπουλος και Ι. Χρυσοβέργης, Αριθμητικές Μέθοδοι Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων – Πεπερασμένα Στοιχεία και Διαφορέσς, Αθήνα, 1986.
Ι. Χρυσοβέργης, Συμπληρωματικές Σημειώσεις.
Β. Κοκκίνης και Ι. Κολέτσος, Εισαγωγή στη Γλώσσα Προγραμματισμού FORTRAN, Σημειώσεις, ΕΜΠ.

Μέρος Γ’

Ι. Χρυσοβέργης, Βελτιστοποίηση, Σημειώσεις, ΕΜΠ.

ΔΙΑΤΙΘΕΜΕΝΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

MATLAB. MATHEMATICA. VISUAL FORTRAN compiler, με Βιβλιοθήκη Μαθηματικών Προγραμμάτων IMSL.
Ι. Χρυσοβέργης, Βιβλιοθήκη Προγραμμάτων Αριθμητικής Ανάλυσης σε FORTRAN, Ι (Βασικές Μέθοδοι Αριθμητικής Ανάλυσης και Βελτιστοποίησης), και II (Αριθμητικές Μέθοδοι Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων).

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙO:

Εισαγωγή στα υπολογιστικά μέρη των εργασιών εξαμήνου. Διάφορες υπολογιστικές εφαρμογές στην Αριθμητική Ανάλυση.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (2 εργασίες, μια για το κάθε μέρος):

Μελέτη υπολογιστικών θεμάτων Αριθμητικής Ανάλυσης. Ανάπτυξη προγραμμάτων για Υπολογιστή με τη βοήθεια του διατιθέμενου λογισμικού. Εφαρμογές σε άλλες περιοχές των Μαθηματικών, στην Επιστήμη και στην Τεχνολογία. Μελέτη θεωρητικών θεμάτων Αριθμητικής Ανάλυσης.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Μέρος Α’

J.C. Butcher, The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations, Runge- Kutta and General Linear Methods, John Wiley, 1987.
J. Dormand, Numerical Methods for Differential Equations, A Computational Approach, CRC Press, 1996.
E. Hairer, S. P. Norsett, and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations, Springer, 1993.
A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 1996.
J. D. Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, The Initial Value Problem, John Wiley, 1991.
L. F. Shampine, Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, Chapman and Hall, 1994.
Γ. Παπαγεωργίου, Αριθμητικές Μέθοδοι Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων, Αθήνα, 1985.

Μέρος Β’

S. C. Brenner and L. Ridgway Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer, 1996.
J. C. Butcher, The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations, Runge-Kutta and General Linear Methods, John Wiley, 1987.
P. G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978.
P. G. Ciarlet, Introduction to Numerical Linear Algebra and Optimization, Cambridge University Press, 1989.
P. J. Davis and P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, Academic Press, 1984.
C. Johnson, Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Cambridge University Press, 1987.
G. Strang and G. Fix, An Analysis of the Finite Element method, Wellesley-Cambridge Press, MA (First Edition: Prentice-Hall, 1973).
V. Thomee, Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, Springer, 1997.
O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor, The Finite Element Method, McGraw-Hill, Vol. 1, 1994, Vol. 2, 1991.
Α. Μπακόπουλος και Ι. Χρυσοβέργης, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, Αθήνα, 1994.
Α. Μπακόπουλος και Ι. Χρυσοβέργης, Αριθμητικές Μέθοδοι Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων – Πεπερασμένα Στοιχεία και Διαφορές, Αθήνα, 1986.
Ι. Χρυσοβέργης, Συμπληρωματικές Σημειώσεις.

Μέρος Γ’

Bazaraa, M.S., Sherali, C.D., and Shetty, C.M., Nonlinear Programming, Theory and Applications, Wiley, 2nd Edition, 1993.
Ciarlet, P.G., Introduction to Numerical Linear Algebra and Optimization,Cambridge University Press, 1989.
Dennis, J., and Schnabel, R., Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, Prentice-Hall, 1983.
Luenberger, D.G., Optimization by Vector Space Methods, Wiley, 1969.
Luenberger, D.G., Introduction to Linear and Nonlinear Programming, Addison-Wesley, 1973.
Polak, E., Computational Methods in Optimization - A Unified Approach, Academic Press, 1971.
Polak, E., Optimization - Algorithms and Consistent Approximations, Springer, 1997.